O perigo das contradições

Este post é dedicado aos estudantes que desejam fazer boa ciência. Às vezes refletimos sobre os aspectos lógicos do que fazemos, mas a verdade é que acho que boa ciência só pode sair de uma reflexão profunda da pesquisa em questão. É possível publicar artigos sem isso? Claro. Alguns acham que boa ciência reside na sua originalidade. Porém, quando se estuda lógica e filosofia, percebe-se que devemos nos concentrar no que temos a disposição e fazer melhor uso disso. Originalidade, pelo menos pra mim, é um termo relativo que depende de diversos fatores, não só da pessoa envolvida (e geralmente não é só uma) no projeto. Assim como inteligência, não acho justo ponderar desempenho da pessoa por esta característica. Acho mais adequado usar uma medida do quanto que a pessoa usou a partir do tanto que tem, por assim dizer. E nisso entra minha opinião sobre reflexão na execução da ciência. Ela não depende tanto de sua originalidade, mas de sua predisposição a sentar e pensar sobre o que faz, porque faz, como faz. Daí surgem grandes planejamentos e idéias boas, que podem ou não ser consideradas originais (o termo “original” na linguagem popular é muito impreciso ainda, para mim). Sei que num laboratório, ou mesmo para um teórico, a batelada de experimentos ou cálculos é tão grande e há tanta coisa para se fazer, o patrão pedindo coisas, você querendo fazer umas outras, que fica difícil parar e refletir. Mas acho que se você está dentro do grupo que deseja produzir algo de qualidade, então saberá que vale a pena andar um passo de cada vez, com segurança, pelo menos na maior parte das vezes. Como conseqüência, tipicamente vamos um pouco mais devagar com a pesquisa do que supostamente deveríamos (temos que encontrar um meio termo, já que somos cobrados a publicar certo número de artigos por intervalo de tempo). Mas eu, pelo menos, prefiro esse risco do que chegar perto do final dela, encontrar uma decisão mal tomada ou uma inconsistência lógica, matemática, experimental, no meio ou no começo do trabalho. Isso pode destruir todo o prédio de conhecimento que você se esforçou tanto para construir. Pondere: qual o preço que você prefere pagar, ou o risco que você prefere correr? Se suas prioridades não são essas, por quaisquer razões que você tenha, não o/a julgo. Todos temos nossas vidas e nossas razões. Só que neste caso este post talvez não seja muito interessante pra você.

Bom, agora indo ao ponto que me traz ao blog hoje, falei sobre reflexão em ciência. Ela é importante para evitar encontrar inconsistências lógicas ou contradições no nosso trabalho. Por que eu digo isso? O perigo das contradições reside no fato de que se pode provar qualquer coisa por meio de premissas contraditórias. Assim o caráter “sagrado” de uma teoria de poder ser desprovada ganha faceta de algo que pode ser aceito de um jeito ou de outro. A teoria passa a ser uma escolha. Existem escolhas em ciência, pelo menos pra mim isso é claro, e reside no caráter humano da empreitada e de suas motivações, do espaço de possibilidades que nosso cérebro pode explorar ser enorme. Mas teorias com premissas contraditórias simplesmente não servem pra nada, pois se um experimento dá uma coisa, você pode justificá-la, se dá outra, você pode justificá-la também. Você simplesmente perde a ferramenta de decisão fundamental que nos galga ao progresso científico. Ok, falei demais sobre isso, e parece que estou tentando explicar o óbvio, mas como uma premissa contraditória pode ser tão perigosa? Tome por exemplo uma história sobre o lógico G. H. Hardy (autor do recomendado “Em Defesa de um Matemático”), contada no livro “Convite à Física Matemática”, de Nivaldo A. Lemos (recomendado com ênfase também). Uma pessoa, incrédula de que pode-se provar qualquer coisa através de premissas contraditórias, desafiou Hardy a provar que ela era o Papa a partir da seguinte premissa: 4 = 7. Esta é uma premissa contraditória em um sentido melhor explicitado mais adiante no post. A resposta de Hardy foi mais ou menos essa: “4 = 7. Subtraia 1 dos dois lados da equação, resultando em 3 = 6. Divida por três os dois membros da equação: 1 = 2, ou o que dá na mesma, 2 = 1. Você e o Papa são dois, mas como 2 = 1, você é o Papa”. Boa essa, não? Ainda sem medo do poder adaptativo das contradições? Bem, é possível provar que se uma proposição P (podendo ser uma premissa, hipótese ou teoria, por exemplo) é verdadeira e falsa, o que equivale dizer que P\wedge\urcorner P (P e não-P) são verdadeiras, então qualquer outra proposição Q pode ser demonstrada a partir dela. Para provar isso usarei a demonstração do filósofo Karl Popper que tirei do livro “A Lógica da Pesquisa Científica” (é muito bom se você tiver paciência ao detalhamento do autor), e algumas relações lógicas que não demonstrarei por dois motivos: 1) não tenho o propósito de tentar ensinar lógica matemática aqui e 2) para que sirva de estímulo aos interessados buscar aprender um pouco sobre o assunto, de importância capital, na minha opinião; e 3) as provas são fáceis de encontrar. As equivalências lógicas são: (A) P\rightarrow Q (P acarreta ou implica Q) implica \urcorner P\vee Q (ou não-P é verdadeira ou Q é verdadeira); e (B) P\rightarrow R\rightarrow S (R e S são proposições) implica P\wedge R\rightarrow S. Ou seja, em linguagem mais sucinta: (P\rightarrow Q)\rightarrow (\urcorner P\vee Q) e (P\rightarrow R\rightarrow S)\rightarrow [(P\wedge R)\rightarrow S]. Apesar de não mostrar as demonstrações (que podem ser feitas por meio de tabelas-verdade ou de provas diretas), posso exemplificar com facilidade o que essas relações dizem: (A) Se você é casado(a), você tem uma(um) esposa(o) (P\rightarrow Q), portanto ou você é solteiro(a) ou você tem uma(um) esposa(o) (\urcorner P\vee Q); (B) Se você tem 10 reais, você tem 5, e se você tem 5, você tem 3 (P\rightarrow R \rightarrow S), logo se você tem 10 e 5 reais, você tem 3 ((P\wedge R)\rightarrow S), já que ter 5 seria o suficiente para ter 3 reais.
Bom, vamos à demonstração de que da contradição podemos provar qualquer proposição. A contradição lógica pode ser escrita como P\wedge\urcorner P, a coexistência de P e o oposto dela, algo ser e não ser verdadeiro no sentido lógico (não estou falando de “verdades” baseadas em opinião, ou ser e não ser em diferentes contextos, mas no mesmíssimo contexto). Por exemplo, ser casado e solteiro ao mesmo tempo. Isso é uma contradição lógica, pois a definição de casado é a de não ser solteiro, e vice-versa. Bom, assumindo isso, segue o presente teorema:

Teorema 1: Se P\wedge\urcorner P, então Q, sendo Q uma proposição qualquer.

Prova:
(1) P\wedge\urcorner P (hipótese);
(2) \urcorner P (conseqüência de (1));
(3) \urcorner P\vee Q (já que, pelo menos, \urcorner P é verdadeira);
(4) P\rightarrow Q (usando (3), (A) e o fato de que \urcorner(\urcorner P) equivale à P);
(5) \urcorner P\rightarrow (P\rightarrow Q) (usando (2) e (4));
(6) (\urcorner P\wedge P)\rightarrow Q (usando (5) e (B));
(7) (P \wedge\urcorner P)\rightarrow Q (usando o fato de que para duas proposições R e S, R\wedge S equivale à S\wedge R).
Q. E. D.

Se você não entendeu a prova, sem problema. Basta lembrar da história do Hardy: se duas coisas logicamente inconsistentes são assumidas verdadeiras (como 4 = 7, dois números diferentes terem as mesmas propriedades matemáticas, todas elas), coisas como qualquer pessoa pode ser Papa surgem dessa premissa. Em lógica fica mais fácil usar a expressão (P \wedge\urcorner P)\rightarrow Q.

Agora vou dar um passo a mais, e esse me parece ter implicações mais sérias. No entanto o passo é meu, de modo que me responsabilizo por qualquer erro matemático ou filosófico que advenha dele. Para dar esse passo usarei o Teorema 1 e uma outra relação lógica: Se \urcorner (P\wedge L) é verdadeira, então \urcorner P\vee \urcorner L também é, ou \urcorner (P\wedge L)\rightarrow \urcorner P\vee \urcorner L . Exemplificar essa relação também não é difícil: se não é verdade que você e seu amigo são bons em matemática (\urcorner (P\wedge L)), então então ou você ou ele não são bons em matemática (\urcorner P\vee \urcorner L ). Essa relação pode ser estendida para um conjunto finito de n premissas, de modo que: \urcorner(P_1\wedge P_2\wedge ...\wedge P_n)\rightarrow \urcorner P_1\vee \urcorner P_2\vee ...\vee \urcorner P_n. A essa relação chamarei de (C). Agora vem a parte interessante. Considere uma teoria. Ela pode ser decomposta em um conjunto de fatos, que pelo laborioso trabalho de edificação científica, são tidos como verdadeiros. Vamos supor que de fato eles sejam. Como para que a teoria quântica seja válida, precisamos assumir a existência de átomos, elétrons, a possibilidade de partículas se comportarem como onda, e por aí vai, todas comprovadas experimentalmente, de uma forma ou de outra. Se chamamos a teoria de P, e dizermos que ela equivale a esse conjunto de proposições P_1, P_2, …, P_n, que devem ser simultaneamente verdadeiras para que a teoria seja válida, podemos usar o Teorema 1 e provar o Teorema 2:

Teorema 2: se P_i\wedge\urcorner P_i para pelo menos uma proposição que compõe a proposição P_1\wedge P_2\wedge ...\wedge P_n, então é possível provar Q, sendo Q uma proposição qualquer.

Prova:
(1) P_1\wedge P_2\wedge ...\wedge P_n (hipótese);
(2) P_i\wedge\urcorner P_i (hipótese);
(3) \urcorner P_i (consequência de (2));
(4) \urcorner P_1\vee \urcorner P_2\vee ... \vee \urcorner P_n (já que pelo menos \urcorner P_i é verdadeira);
(5) (P_1\wedge P_2\wedge ...\wedge P_n)\wedge \urcorner(P_1\wedge P_2\wedge ...\wedge P_n)\rightarrow Q (usando (1) e Teorema 1);
(6) (P_1\wedge P_2\wedge ...\wedge P_n)\wedge (\urcorner P_1\vee \urcorner P_2\vee ...\vee \urcorner P_n\rightarrow Q) (usando (5) e (C));
(7) Q (usando (1), (4) e (5));
(8) (P_i\wedge\urcorner P_i)\rightarrow Q (usando (2) e (7));
Q. E. D.

Ou seja, se existe pelo menos um i referente a uma premissa P_i que coexista, digamos assim, com seu oposto lógico, \urcorner P_i, então é possível provar uma proposição Q qualquer. Uma representação mais formal seria (\exists i)(P_i\wedge\urcorner P_i)\rightarrow Q (o símbolo \exists acompanhado do i representa “existe pelo menos um i tal que …”).
Bem, qual a conseqüência do Teorema 2? Agora entra uma parte um pouco filosófica e interpretativa, mas se uma teoria é composta por um número finito de proposições P_1, P_2, …, P_n, que assumem-se verdadeiras, basta apenas a contradição em apenas uma destas proposições para que seja possível, a partir desta única contradição, provar qualquer outra coisa, qualquer resultado ou conseqüência lógica a partir disso. Em outros termos, seria possível flexivelmente provar o que se deseja livremente, e logicamente, a partir da teoria. Eu chamo desta proposição P_i, responsável pela contradição P_i\wedge\urcorner P_i, de semente de contradição. Ela poria em risco toda uma abordagem imparcial e logicamente estruturada de qualquer teoria. Quando descobri isso fiquei preocupado. Bastante.
Mas vamos discutir um pouco isso. Assumindo que eu não tenha errado alguma coisa nas demonstrações, temos dois pontos discretos de que podemos tirar proveito, e aprender lições com isso. Primeiro: eu disse se a teoria fosse composta por um número finito de proposições. Hora, se sabemos enumerar e dispor todas estas proposições é uma coisa, mas parece bastante razoável que, na verdade, qualquer teoria seja composta por uma infinidade de proposições que assumimos, implicitamente ou explicitamente. É um conjunto infinito de enunciados, não finito. E o teorema acima registra a finitude do sistema estudado. Vale a pena ser rígido neste ponto, pois conjuntos infinitos possuem propriedades distintas de conjuntos finitos.
Mas digamos que seja um conjunto finito, e daí? Bom, é só não usar a contradição para provar nada, ok? Imagino que seja possível fazer isso. Mas só é possível se evitar fazê-lo se mantermos o olho atento a esse tipo de coisa, por meio de reflexão, como sugeri no início do post. Acredito, e isso é Opinião com “O” maiúsculo, que seria possível manter a teoria com uma pequena contradição, que tem um risco potencial que causar um grande estrago se usada (o maior possível, inclusive de falsear todas as outras premissas da teoria), mas não fará nada enquanto se mantenha atento para sua possível presença. Acho também que, mesmo que o número dessas premissas de que dependem qualquer teoria seja finito, certamente é um número grande. Grande o suficiente para que seja, usando informalmente este termo, “provável” haver um certo número de contradições. Talvez elas possam ser evitadas através de definições, como os matemáticos fizeram em momentos cabeludos, resultado da descoberta de paradoxos nas bases da matemática. Não sei, e acho que minhas especulações deveriam parar por aqui.

Agora eu volto para o exemplo numérico, a história que contei sobre Hardy. Ela me remete uma piada matemática, publicada na Revista Cálculo, Edição 22 (Ano 2, 2012):

Teorema: 4=3
Prova: Suponha que a+b=c. Reescreva isso como 4a-3a+4b-3b=4c-3c. Reorganizando: 4a+4b-4c=3a+3b-3c. Deixe as constantes em evidência: 4(a+b-c)=3(a+b-c). Cancele o (a+b-c) dos dois lados: 4=3.

Na verdade pode-se provar, usando a estrutura acima, que qualquer número x é igual a qualquer outro y. Por que esse resultado estranho? Porque em uma dada etapa da demonstração multiplicou-se os dois lados da equação por 0. Essa operação leva a inconsistências, pois se qualquer número multiplicado por 0 é zero, então x\cdot 0=y\cdot 0 =0. Concluir que x=y a partir daí é que é o problema, pois quaisquer números x ou y escolhidos levam ao mesmo resultado, e números distintos, como 4 e 3, teriam as mesmas propriedades matemáticas. Pensa que não multiplicamos nada por zero no teorema acima? Quando assumimos a+b=c, estamos dizendo que a+b-c=0. E esse é o fator de multiplicação que surge na expressão 4(a+b-c)=3(a+b-c), que na verdade representa 4\cdot 0=3\cdot 0. Portanto, a moral da história é essa: não multipliquem equações por 0 (operação relacionada com divisão por zero, operação não permitida na matemática), por mais discreta que seja a forma com que ele se mostre presente (como a+b-c, no exemplo acima). Você pode deduzir absurdos, e olhe que eu quase cometi esse erro. Pode acontecer com você também, se não tiver cuidado.

Finalmente, como isso é uma contradição? Simples: x = x por definição para qualquer x. A partir do momento que admitimos x = y para quaisquer x e y, inclusive quando são os mesmos números, estamos fazendo algo como dizer que alguém é solteiro e casado ao mesmo tempo. Admitir essa possibilidade é uma contradição lógica. Números diferentes não são iguais, e vice-versa. Multiplicação por zero leva a coexistência das duas verdades, o que não é muito prático, pois o sistema lógico/matemático desanda.

Obs. 1: Algumas relações lógicas apresentadas como implicações são também equivalências. Ou seja, além de exibirem a forma P\rightarrow Q, também pode-se provar Q\rightarrow P, estabelecendo-se a equivalência P\Leftrightarrow Q. Não aludi esse fato porque só precisei das implicações para provar os teoremas, por isso optei pela simplicidade de omitir este fato.

Obs. 2: Aqui cabe uma alusão a “injustiça” para com as contradições. Elas são usadas em talvez a forma mais elegante de prova matemática, a redução ao absurdo (reductio ad absurdum). Parece-me que a contradição é como uma faca, que pode ser usada para cortar um delicioso pão ou para fazer mal a alguém. Paradoxos também, como mostrou Kurt Gödel ao usá-los em seus teoremas da incompletude.

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One Response to O perigo das contradições

  1. Fred says:

    kkkkkkkkkk
    4 é igual a 3
    Quer dizer, 4*0 = 3*0, não vejo problema, hehe. Só não pode dividir:

    E se sua contradição aparecer apenas em:
    Q -> P ?
    Seria o que os experimentais fazem com meus resultados teóricos perfeitos?

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