O necessário e o suficiente

Lendo escritos de Josiah Willard Gibbs (quem consideramos o pai da termodinâmica química, da regra das fases, o homenageado na energia de Gibbs, G ou F, outrora energia livre de Gibbs, o padrinho da teoria do ensembles, entre outras contribuições não menos importantes) e notei que muito frequentemente ele falava que uma causa era necessária e suficiente para que alguma coisa fosse verdadeira. E volta e meia me deparei com esta afirmação aqui e acolá, em trabalhos de Flory e trabalhos de dinâmica não-linear. Então resolvi investigar mais afundo.
Este assunto (causas necessárias e suficientes) é largamente explorado em lógica matemática e filosofia, também envolvendo estatística quando aplicada na detecção da causa de fenômenos. É pode ser útil em química também, como ilustrarei no final. Por enquanto confiem em mim.
Antes de explicar o que é uma causa necessária ou suficiente para ocorrência de um evento, preciso revisar duas notações comuns em lógica. Considere duas proposições p e q. Podemos dizer que q é uma conseqüência de p, ou “se p, então q”, usando a seguinte representação: p\Rightarrow q. Se queremos negar uma proposição p usamos a notação \sim p ou \urcorner p. Por exemplo, se p: Sócrates é humano, então \sim p: Sócrates não é humano.

Vamos às definições:

Se p é uma causa necessária para a ocorrência de q, então q não pode ocorrer sem que p tenha ocorrido (\sim p\Rightarrow \sim q). O necessário não garante que uma coisa implique a outra, só garante que a ausência de uma implica a ausência de outra.

Se p é uma causa suficiente para a ocorrência de q, então sempre que p ocorrer, q também ocorre (p\Rightarrow q). O suficiente garante que uma coisa implique a outra, mas não necessariamente o sentido inverso, ou seja, que a outra coisa implique a uma.

Quando uma causa é necessária e suficiente, usa-se a denominação “p se e somente se q” (p\Leftrightarrow q, ou p sse q ou ainda p iff q, do inglês “if and only if”). Geralmente se prova esta relação provando que “se p, então q” e “se q, então p” são simultaneamente verdadeiras. Mas isso é o equivalente a dizer que p é causa necessária e suficiente para q ocorrer. Isso é verdade porque se pode provar que \sim p\Rightarrow \sim q equivale a q\Rightarrow p. Logo dizer que p é causa suficiente (p\Rightarrow q) e necessária (q\Rightarrow p) para q equivale dizer “p se e somente se q” (p\Leftrightarrow q).

Obs.: Por p\Rightarrow q não entenda que isso significa unicamente que q ocorre em função de uma causa, que neste caso é p. Usei largamente esta interpretação pela sua importância nas ciências naturais, e para explicar causalidade, onde ela é necessária. Mas essa proposição (p\Rightarrow q) também pode significar “caso p seja verdadeiro, q também o é”, interpretação mais comum em lógica e em filosofia.

Vejamos um exemplo. Estudar para a prova é uma condição necessária para que eu tire uma nota boa. Isto é, não tirarei uma nota boa a menos que estude. Porém não é uma causa suficiente, pois estudar não garante que eu tire essa nota boa. Talvez aumente a probabilidade de que eu tire uma nota boa, considerando o evento parcialmente probabilístico (que depende de estado de humor, meu e do professor, bem como uma série de outros fatores). Mas isso é outra história.
Para aqueles que acham improvável que esta história toda seja pertinente para químicos, reproduzirei uma prova de um teorema em cinética química. A prova é do químico Vítor Ferreira Ribeiro, que gentilmente me autorizou a reproduzi-la após pedi-lo. Ele possui um blog não científico que pode ser conferido aqui. Apesar de “não científico” segundo o autor, alguns cálculos e discussões são inegavelmente de um acadêmico. Vale a pena dar uma conferida. Ele também me indicou este blog: Todas as configurações. Eu recomendo uma olhada nele. Recentemente foi postada uma matéria sobre o caos bem interessante, em homenagem a um dos ganhadores da medalha Fields, o primeiro brasileiro a ser agraciado com o prêmio: Artur Ávila (palmas efusivas). Só falta o Nobel. Vamos ralar que um dia ele será nosso (depois de ser da humanidade, é claro). Sem mais delongas, segue a demonstração do caro Vítor (notas minhas em colchetes):

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“Teorema:
O único caso em que a meia-vida de uma reação não depende da concentração inicial é se, e somente se, a reação for de primeira ordem.

Demonstração
Primeiramente, demonstremos que uma condição necessária para que a meia-vida de uma reação de ordem n seja independente da concentração inicial é tal que n=1.

Para uma reação do tipo \text{A}\rightarrow\text{P}, com v=k[\text{A}]^n, a meia-vida é dada por:

t_{1/2}=\displaystyle\frac{[\text{A}]_0^{1-n}\left(2^{n-1}-1\right)}{k(n-1)}

\displaystyle\frac{\partial t_{1/2}}{\partial [\text{A}]_0}=\frac{[\text{A}]_0^{-n}(1-2^{n-1})}{k}

Se t_{1/2} não depender de [\text{A}]_0, \displaystyle\frac{\partial t_{1/2}}{\partial [\text{A}]_0}=0. Impondo esta condição, vem:

\displaystyle\frac{[\text{A}]_0^{-n}(1-2^{n-1})}{k}=0 \therefore[“portanto”: usado em provas de consequências lógicas]

\displaystyle\frac{(1-2^{n-1})}{[\text{A}]_0^{n}k}=0 \therefore 1-2^{n-1}=0 \therefore 2^{n-1}=1 \therefore n-1=0

n=1

Em seguida, demonstremos que a condição n=1 é condição suficiente para que a meia-vida independa da concentração inicial.

v=k[\text{A}]^n, para n=1, temos que v=k[\text{A}]

-\displaystyle\frac{d[\text{A}]}{dt}=k

-\displaystyle\frac{d[\text{A}]}{[\text{A}]}=kdt \therefore \displaystyle\int_{[\text{A}]_0}^{[\text{A}]'}\frac{d[\text{A}]}{[\text{A}]}=-\int_{0}^{t'}kdt

\text{ln}\displaystyle\frac{[\text{A}]'}{[\text{A}]_0}=-kt'

Quando [\text{A}]'=\displaystyle\frac{[\text{A}]_0}{2}, t'=t_{1/2}

\text{ln}\displaystyle\frac{1}{2}=-kt_{1/2} \therefore t_{1/2}=\displaystyle\frac{\text{ln}2}{k}

(Q. E. D.) [Quod erat demonstrandum = “como se queria demonstrar”]”

………………………………………………………………………………………………………

Para quem quiser ter um contato maior com lógica de um ponto de vista prático, através de provas e pela relação do assunto com teoria dos conjuntos, recomendo fortemente o livro do Andrew Wohlgemuth, Introduction to Proof in Abstract Mathematics. O livro é simplesmente incrível. Eu, mesmo sendo um químico, consegui acompanhá-lo (e fazendo os exercícios) até pouco antes da metade do livro, pois fiquei sem tempo e cabeça (precisei de lazeres mais leves). É um livro muito transparente no que quer ensinar e em como ensina. E é um exemplo claro de que provas são feitas para clarificar as coisas, não para nublá-las numa aura exótica inacessível.

Usei como referência importante o livro da Susanna S. Epp, Discrete Mathematics with Applications (4ª Edição). Me parece um livro bom, bastante direto, pelo pouco que pude ver dele. Fica a dica. Outras referências:

http://std.about.com/od/overviewofstds/a/causality.htm (exemplos de combinações de causas necessárias e suficientes, ou na ausência de uma ou ambas as condições, na medicina)
http://www.sfu.ca/~swartz/conditions1.htm (definições e exemplos)
http://en.wikipedia.org/wiki/Causality (tipos de causas)
http://en.wikipedia.org/wiki/Causality_%28physics%29 (causalidade em física)
http://en.wikipedia.org/wiki/Necessity_and_sufficiency (sobre necessário e suficiente)
http://www.txstate.edu/philosophy/resources/fallacy-definitions/Confusion-of-Necessary.html (sobre confusões entre os tipos de causa)

Resumão:

p é uma condição necessária para q” significa “se p, então q ( p\Rightarrow q)”
p é uma condição suficiente para q” significa “se \sim p, então \sim q (\sim p\Rightarrow \sim q)”
p é uma condição necessária e suficiente para q” significa “p se e só se q ( p\Leftrightarrow q)”

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