Nem todos os sinais de igual são iguais

Olá a todos. Este post é meio que uma continuação do post Como escrever equações, e a necessidade de fazê-lo veio de dúvidas minhas em relação a alguns símbolos cujo significado desconhecia. Resolvi correr atrás para entendê-los, e descobri que existe uma certa divergência ou discordância entre suas aplicações, ou eu poderia dizer convergência, onde um símbolo é usado para diferentes funções. De um modo geral tentei conciliar o que a IUPAC (a partir do Green Book, que basicamente segue o SI) e os matemáticos empregam, tentando eliminar as divergências e dando exemplos que clarifiquem seus usos. A lista abaixo resume minhas investigações:

\boxed{=\ (\text{igual a})} Ex.: 2 = 1 + 1. A igualdade entre duas funções f(x) e g(x) é válida se ocorre para alguns valores de x, sendo f(x)=g(x).
\boxed{\equiv\ (\text{identicamente igual a; por defini\c{c}\~ao})} Ex.: Se duas funções f(x) e g(x) são iguais para todo x, elas são identicamente iguais, logo f(x)\equiv g(x). Tipicamente o símbolo é usado para representar definições, embora não seja a recomendação da IUPAC (e SI), tão pouco dos matemáticos. Para isso pode-se usar o símbolo na linha abaixo.
\boxed{\overset{def}{=}\ \text{ou}\ \overset{\Delta}{=}\ \text{ou}\ := (\text{igual por defini\c{c}\~ao})} Ex.: \displaystyle\frac{df(x)}{dx}\overset{def}{=}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. Naturalmente que frequentemente se omite o “def”, só usando o “=”, em muitos casos. E essa prática comum pareceu-me aceita, e bastante razoável em situações óbvias como a exemplificada, já que parece sensato chamar a atenção para uma definição somente quando ela não é óbvia.
\boxed{\approx\ (\text{aproximadamente igual a})} Ex.: \pi \approx 3,1416. Este me pareceu ser o mais aceito sinal de aproximação, quando se refere a um sentido geral do termo.
\boxed{\propto\ (\text{proporcional a})} Ex.: se p é a pressão de um gás e T é sua temperatura, p\propto T. Às vezes se usa o sinal “\sim” com a mesma finalidade (segundo IUPAC/SI). Eu particularmente não acho uma boa idéia, pois \propto é bem característico, e o símbolo citado tem outros significados, esmiuçados na linha abaixo.
\boxed{\sim\ (\text{assintoticamente igual a; se distribui de acordo com})} Ex.: n!\sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n. Se f(x)\sim g(x), então \displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1, ou f(x)=g(x)+o\left(g(x)\right) para x \rightarrow \infty. O símbolo de Landau o(...), chamado de “pequeno o”, é explicado no final do post. O símbolo “\sim” também é usado para indicar a distribuição probabilística de uma variável aleatória, como em X\sim N(\mu,\sigma^2). Ou seja, a variável aleatória X se distribui de acordo com a distribuição normal, com média \mu e variância \sigma^2. Em textos em que os dois significados são necessários, acho conveniente ir para a notação mais incomum de “assintoticamente igual a” através do símbolo \simeq.

Mais alguns símbolos do gênero podem ser consultados no wikipédia, tanto símbolos correlatos ao sinal de igual quanto símbolos matemáticos em geral. Para referência do SI consultar wikipédia (nas referências das páginas tem o acesso ao documento original das normas do SI) ou nesta referência do NIST. Muito do que falei teve por base o “Handbook of Mathematics” de Bronshtein e colaboradores, 5ª edição, da Springer (2007). Se aparecerem mais símbolos frequentes (com significados distintos dos apresentados) eu acrescento neste post, como tenho feito com alguns, como o de História da Química ou o Como escrever equações.

Símbolos de ordem de Landau

Tive algum contato com os símbolos (ou notação) de Landau, e acho pertinente apresentá-los de maneira sucinta.
A notação serve para descrever o comportamento relativo de duas funções quando elas tendem a um ponto x=a ( a pode \pm\infty, aliás). O “grande O” e o “pequeno o” são descritos de maneira que:

Definição 1: se f(x)=O(g(x)) (lê-se f(x) é “grande O” de g(x)), então isso significa que \displaystyle\sum_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A, sendo A uma constante diferente de zero;

Interpretação: Existe um valor a em cuja vizinhança o valor absoluto de f(x) é inferior à g(x) multiplicada por uma constante.

Definição 2: se f(x)=o(g(x)) (lê-se f(x) é “pequeno o” de g(x)), então \displaystyle\sum_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0.

Interpretação: f(x) é menor (em valor absoluto) que qualquer fração de g(x) quando x é suficientemente próximo de a.

Obs: Existem outras definições. Elas estão presentes nas referências dadas no final do texto. As definições acima vêm do “Handbook of Mathematics”.

Ex.: \text{sen}(x)=O(x) para x\rightarrow 0, pois \displaystyle\sum_{x \to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1\neq 0. Ou seja, essa aproximação \text{sen}(x)\approx x só é válida nas vizinhanças de x\rightarrow 0.

É prática comum usar o “grande O” para representar o erro numa aproximação, como a feita a partir de expansão de Taylor. Por exemplo:
e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2}+O(x^3) quando x\rightarrow 0

Significando que o erro é menor em valor absoluto que x^3 para x suficientemente próximo de zero na aproximação e^x\approx 1+x+x^2/2.

A aplicação desta notação nas expansões permite uma análise mais clara dos erros associados às aproximações feitas a partir delas, em como eles são propagados ao longo delas. Num produto de duas funções f(x)g(x), por exemplo, ambas aproximadas por uma expansão de Taylor. Uma dica para quem quer saber um pouco mais é dar uma olhada no seguinte documento, ou nestas outras referências:

http://www.math.columbia.edu/~nironi/taylor2.pdf
http://web.mit.edu/16.070/www/lecture/big_o.pdf
http://www.math.jhu.edu/~fspinu/405/landau%20notation.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

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