Química em linguagem formal 1

Estequiometria e reagente limitante

Seja a seguinte reação química genérica:

a_1A_1+a_2A_2+...+a_{\alpha}A_{\alpha} \rightleftharpoons b_1B_1+b_2B_2+...+b_{\beta}B_{\beta}\qquad(1a)

Com \alpha reagentes e \beta produtos. Um reagente é representado pela letra A e um produto pela letra B, com coeficientes estequiométricos a e b, respectivamente, e o índice numérico abaixo das letras individualizando cada espécie (átomos, íons, moléculas, …). Na representação mais compacta de somatórios:

\sum_{i=1}^{\alpha}a_iA_i\rightleftharpoons \sum_{i=1}^{\beta}b_iB_i\qquad(1b)

Premissa 1: a equação (1) deve estar balanceada, de modo que a reação obedeça a conservação da massa e da carga.

Definição 1: A_j é um reagente limitante A_j^L se e só se:

\displaystyle\frac{n_{A_j}}{a_j}\leqslant\displaystyle\frac{n_{A_k}}{a_k}(\forall k)\qquad(2a)

(Obs.: O símbolo \forall significa “para todo”)

Onde n_{A_j} é o número de moles do reagente A_j no início da reação. Caso só exista um reagente limitante:

\displaystyle\frac{n_{A_j}}{a_j}<\displaystyle\frac{n_{A_k}}{a_k}(\forall k\neq i)\qquad(2b)

(Obs.: se e só se significa que obedecendo à condição acima, o reagente é considerado limitante, e se ele é um reagente limitante, deve obedecer à condição. Ou seja, a implicação ocorre nos dois sentidos).

Assim, obedecido este critério, temos que A_j=A_i^L.
Rearranjando-se a equação (2b) obtemos a relação abaixo:

\displaystyle\frac{n_{A_k}}{a_k}-\displaystyle\frac{n_{A_j^L}}{a_j}=\delta>0(\forall j \neq k)\qquad(3)

De modo que \delta está relacionado ao que sobra de um reagente k na reação (A_k^S), calculado a partir da quantidade de reagente limitante. Ou seja:

\delta=\displaystyle\frac{n_{A_k^S}}{a_k}=\displaystyle\frac{n_{A_k}}{a_k}-\displaystyle\frac{n_{A_j^L}}{a_j}

n_{A_k^S}=n_{A_k}-\displaystyle\frac{a_kn_{A_j^L}}{a_j}\qquad(4)

Teorema 1: se A_j é um reagente limitante (e, portanto, A_j=A_i^L), e o rendimento da reação R(\%) é 100%, então a seguinte relação é válida:

\displaystyle\frac{n_{A_j^L}}{a_j}=\displaystyle\frac{n_{B_k}}{b_k}(\forall k)\qquad(5)

Prova: Quando dizemos que a_j moles de A_j equivalem estequiometricamente à b_k moles de B_k, queremos dizer que a relação \frac{a_j}{b_k} é válida tanto para poucas moléculas como para números imensos em termos de moles, n_{A_j} e n_{B_k} (obviamente se todas as espécies A_j forem consumidas, razão da necessidade de que A_j seja um reagente limitante). Ou seja:

\displaystyle\frac{a_j}{b_k}=\displaystyle\frac{n_{A_j^L}}{n_{B_k}}

Equação que obviamente leva à (5).
O teorema 1 diz que podemos obter o número de moles de qualquer dos produtos em função do número de moles do reagente limitante no início da reação. O rendimento pode ser definido como a proporção da quantidade de um certo produto, digamos B_k^r (r de real) obtido após a reação, em relação a hipotética quantidade estabelecida pela equação (5), resultado de um rendimento de 100%. Ou seja:

R(\%)=\displaystyle\frac{n_{B_k^r}/b_k}{n_{B_k}/b_k} \times 100\%=\displaystyle\frac{n_{B_k^r}}{n_{B_k}} \times 100\% \qquad(6)

Logo a relação (5) pode ser rearranjada para um rendimento não necessariamente igual a 100%:

\displaystyle\frac{n_{A_j^L}}{a_j}=\displaystyle\frac{n_{B_k^r}}{b_k} \times \left[\displaystyle\frac{100\%}{R(\%)}\right](\forall k)\qquad(7)

A relação (7) tem patente utilidade quando consideramos as diversas relações através de qual se pode obter o número de moles de uma espécie. Essas relações são resumidas abaixo, sendo n o número de moles, m a massa, MM a massa molar e N o número de partículas de uma espécie química qualquer (reagente ou produto) e M, V, \tau e \rho a molaridade, volume, título (\tau(\%)=\tau \times 100\%) e densidade de uma solução da mesma substância, respectivamente, bem como N_A a constante de Avogadro:

n\text{[mol]}=\displaystyle\frac{m\text{[g]}}{MM[\text{g}\cdot \text{mol}^{-1}]}=\displaystyle\frac{N[\text{especies}]}{N_A[\text{especies}\cdot \text{mol}^{-1}]}=M[\text{mol}\cdot \text{L}^{-1}]\cdot V[\text{L}]=\displaystyle\frac{\tau\cdot\rho[\text{g}\cdot \text{L}^{-1}]}{MM[\text{g}\cdot \text{mol}^{-1}]}\cdot V[\text{L}]\qquad(8)

OBS.: Em colchetes são destacadas as unidades usuais.

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