Podemos usar dy/dx como uma fração?

Foi só até recentemente, tendo feito o primeiro curso de cálculo a mais de sete anos atrás, que me dei conta de uma pequena inconsistência conceitual na notação de derivação que só me foi aludida por um grande professor de físico-química meu só recentemente. Sempre precisei resolver integrais por substituição, ou equações diferenciais pelo método de Fourier, sem me dar conta da grande questão. Em ambos os exemplos separamos uma derivada de y em relação à x, por exemplo, como se dy/dx fosse de fato uma fração. Sabemos que pela definição em termos de limites que a derivada é:

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Como também sabemos, o limite da razão não é razão dos limites. Ou seja:

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(Para operações com limites e suas provas consultar: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeProofs.aspx)

Ou ainda:

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A notação de derivada semelhante a uma razão nos dá a impressão de que podemos cortar dt em cima e dt embaixo, e assim chegar a dy/dx. Mas então onde fica a regra da cadeia?

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Ou ainda, como podemos cometer o sacrilégio de resolver a simples equação diferencial abaixo via integração:

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Separando dx de dt como dx/dt se fosse uma fração, como se pudéssemos partir o operador (limite) que representa a derivação em numerador e denominador. Mais simples ainda, quando resolvemos uma integral por substituição, como abaixo:

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Em que introduzimos uma variável u = ax + b, de modo que:

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E substituímos na integral:

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E eu poderia continuar aqui citando exemplos onde “dy/dx” (genericamente) é tratada como uma fração, quando a definição de derivadas via conceito de limite torna isso proibitivo conceitualmente. Mas… funciona, até um certo “limite” (é, um trocadilho). E se funciona, porque é assim? Bom, antes de tantas promessas é bom antecipá-los que o químico que vos fala fez uma pesquisa difícil sobre o assunto. Mas nem por isso é a sombra de um matemático. Portanto, meu objetivo é simplesmente informar o que pode não ser do conhecimento de vocês (e nem era do meu), por mais simples que seja (embora, na verdade, seja complicado). Vamos lá.

Funciona mesmo?

Não é muito difícil testar a eficácia da regra da cadeia. Digamos y(x) = x2, mas y(t) = 2t, o que quer dizer que x = raiz(y) = raiz(2t) (digamos que x > 0 e t > 0 para simplificar os cálculos). Será que a relação abaixo vale?

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Bem:

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E vejam só:

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E funciona, ao menos para este caso. Observem que se tratou dt/dx como o inverso de dx/dt, como se fosse uma fração novamente (já que o inverso de uma fração é o resultado da troca na posição do numerador pelo denominador). Isto é:

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Ora, se a regra da cadeia funciona, a premissa acima também deve funcionar. E, para nosso exemplo simples, fica claro que ela funciona. Considerando que t = x^2/2 (lembrando que x = raiz(2t) para t > 0):

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Ok, funciona. Os exemplos são apenas ilustrativos, já que “exemplo não é prova”. Quando não funciona? Quando lidamos com derivadas parciais, e neste caso deixo ao leitor interessado a consulta nesta página feita para físicos, muito boa: http://www.theshapeofmath.com/oxford/physics/year1/calc/sepdiff
E também em derivadas de ordem superior, como claramente aludido na pg. 31 do artigo do H. J. M. Bos (“Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus”, disponível em http://tau.ac.il/~corry/teaching/toldot/download/Bos1974.pdf). Ou seja:

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(a princípio, obviamente)

Mas porque, nas palavras de David Tall (uma vez chamado de “a towering mathematics education figure”): “it looks like a quotient, it acts like a quotient, yet the seeds of a classic psychological conflict are sown in their [students] minds when they are told it must not be thought of as a quotient.”?

Breve digressão

Desde que aprendi cálculo que nunca me toquei nesta confusão causada talvez pela semelhança do termo dy/dx com uma fração. A terminologia vem de Leibniz, e para os interessados no assunto achei um artigo bem educativo do David Tall: “Chords, Tangents and the Leibniz Notation”, disponível em http://wrap.warwick.ac.uk/497/1/WRAP_tall_dot1985d-tgt-leibniz-mt.pdf. Aprendi a resolver equações diferenciais a partir de um livro excelente, mas que não toca no assunto. Um outro fala que devemos tratar dy/dx “formalmente” como uma fração, e na nota de rodapé explica do significado desta palavra: “Quer dizer: ‘faça de conta que’.”. Estes problemas filosóficos parecem evitados por alguns matemáticos, que preferem colocar um ponto final e dizer: “não é, mas haja como se fosse sem mais perguntas” ou simplesmente não tocar no assunto.
Eu não os criticaria, se houvesse um curso voltado para Filosofia Matemática (para matemáticos), e que problemas inerentes nos usos de conceitos como infinitesimal, controversos desde o paradoxo de Zenão ou ainda antes, fossem abordados com a clareza e a transparência que merecem. Naturalmente que um curso de Cálculo é muito curto para falar disso, mas uma nota de rodapé do por que fazemos isso (tratamos dy/dx como fração) sendo gritantemente contraditório é necessária. E para um químico, é importante saber? Bem, o uso de um símbolo exige mais responsabilidade do que se pensa, e pelas palavras de J. V. Grabiner (“Is Mathematical Truth Time-Dependent”, disponível em http://www.gss.ucsb.edu/sites/secure.lsit.ucsb.edu.germ.cms/files/sitefiles/news/conferences/euler/Havil1.pdf):

“In the eighteenth century, belief in the power of good notation extended beyond mathematics. For instance, it led the chemist Lavoisier to foresee a “chemical algebra,” in the spirit of which Berzelius in 1813 devised chemical symbols essentially like those we use today. Anybody who has balanced chemical equations knows how the symbols do some of the thinking for us. The fact that the idea of the validity of purely symbolic arguments spread from mathematics to other areas shows us how prevalent an idea it must have been.”

Somos lembrados da revolução química trazida por Lavoisier e contemporâneos na algebrização do pensamento químico. Às vezes se confunde utilidade com acessibilidade, e portanto muito conhecimento potencialmente relevante é negligenciado por ser árido e laborioso. Como uma conseqüência irracional desta constatação, atribui-se o rótulo de inútil a este tipo de conhecimento, quando na verdade quem julga não tem noção suficiente para atestar isso. Por isso tenho a seguinte máxima: nenhum conhecimento deve ser considerado inútil se não temos capacidade para avaliar sua utilidade. Ou seja, se meu conhecimento é limitado, isso implica que sou ineficiente em avaliar sua utilidade. Se meu conhecimento é necessariamente limitado (como ser de conhecimento finito que sou), atribuo utilidade a todo ele, e escolho o que devo adquirir não por sua aplicabilidade, mas por outros fatores. Estes fatores variam de pessoa pra pessoa. No meu caso, sigo mais ou menos o preceito de G. H. Hardy (um grande lógico matemático britânico, famoso por seus trabalhos em colaboração com Littlewood e Ramanujan): “Se um homem tem um talento verdadeiro, qualquer que seja, ele deve estar pronto a fazer praticamente qualquer sacrifício para cultivá-lo plenamente” (G. H. Hardy, Em Defesa de um Matemático, Editora Martin Fontes, altamente recomendado na minha opinião).

As definições dos símbolos são uma ferramenta poderosa do pensamento científico. Já que estamos tratando da conhecida, polêmica e útil notação de Leibniz, e atribuímos agora importância a este conhecimento, vamos às informações.

Porque somos “autorizados” – Análise Não-standard

A resposta para nossa pergunta “podemos usar dy/dx como uma fração” já foi respondida, pois mesmo sem as discussões acima na prática é o que é feito. Porém vasculhar o porquê leva às profundezas de uma longa discussão desde o princípio do Cálculo. A resposta segundo a “Análise Não-standard”, que descreverei resumidamente mais adiante, é que isso é possível porque y’(x) não é igual à dy/dx (razão entre infinitesimais), mas y’(x) ≈ dy/dx, razão pela qual manipulamos dy/dx satisfatoriamente como uma fração (a derivada de y em relação à x é na verdade aproximadamente uma razão).
Os fundamentos da Análise Não-standard foram desenvolvidos por Abraham Robinson (publicados na década de 60), que ganhou a admiração de K. Gödel (famoso pelos seus teoremas da incompletude) por usar a lógica matemática na fundamentação teórica do cálculo infinitesimal (ver “Abraham Robinson and Nonstandard Analysis: History, Philosophy, and Foundations of Mathematics” do J. W. Dauben, disponível em http://www.mcps.umn.edu/philosophy/11_7dauben.pdf). Pela análise não-standard podemos tratar os valores infinitesimais sem recorrer ao conceito de limite. Mas primeiro precisamos definir realmente o que são números infinitesimais. Fica mais claro pensar que temos números finitos e infinitos, e dentre os finitos temos os infinitesimais. Os infinitesimais, diferente dos números reais (com exceção do zero), não possuem a propriedade arquimediana. Segundo esta propriedade, qualquer número real positivo (‘a’) pode ser somado um número natural de vezes (‘n’ natural, tipo 1, 2, …) de modo a ser sempre maior que outro número real positivo (‘b’), ou seja, ‘a.n > b’. Números infinitesimais não podem ser expressos como ‘a’, ou não há ‘b/n’ que seja menor que um infinitesimal. Um infinitesimal não é infinito, como a palavra sugere. Um número ‘x’ é finito se há algum número real ‘c > 0’ tal que ‘-c < x < c’ (ou | c | > x). Um número infinitesimal ‘e’ não só obedece esta regra, como ‘-c < e < c’ para qualquer ‘c’ real positivo. Os números infinitos são justamente o oposto, não são finitos, portanto um certo ‘i’ infinito obedece a relação ‘| c | < i’ para qualquer ‘c’ real positivo. Números infinitesimais e infinitos são adicionados ao conjunto dos números reais para formar o conjunto dos números hiper-reais. Como números reais às vezes são chamados de ‘standard’ (padrão), a análise não-standard, por tratar dos números hiper-reais não necessariamente reais, leva este nome.
A despeito desta aparente ‘distância’ dos números infinitesimais dos reais, todo número hiper-real finito é infinitamente próximo a exatamente um número real. Se ‘b’ é um número hiper-real finito, a parte standard de ‘b’, denotada por st(b), é o número real que está infinitamente próximo de ‘b’. Ou seja, ‘s(b) – b’ é infinitesimal (‘b = st(b) + e’, para algum infinitesimal ‘e’). Obviamente a parte standard de um número real é ele mesmo. Número hiper-reais infinitos não possuem parte standard. Dentro deste conceito é possível desenvolver o cálculo infinitesimal sem usar limites como base para diferenciação ou integração. Como excelente exemplo disso, cito o livro online do Jerome Keisler, disponível em http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html. Ele desenvolve o cálculo de maneira didática e compreensível para pobres mortais através da análise não-standard. Muita coisa deste post eu tirei desta referência, que também tirou muitas das minhas dúvidas.
Algumas propriedades da parte standard de um número são enunciadas abaixo (sendo ‘a’ e ‘b’ números hiper-reais):

i) st(-a) = -st(a);
ii) st(a + b) = st(a) + st(b);
iii) st(a.b) = st(a).st(b);
iv) se st(b) ≠ 0, então st(a/b) = st(a)/st(b).

O número zero além de real, é considerado por alguns autores também como infinitesimal (inclusive no livro do Keisler), não sei se tem haver com o fato dele não possuir a propriedade arquimedeana (http://www.unco.edu/nhs/mathsci/facstaff/parker/math/infinitesimal_paper.pdf). Achei engraçada uma ‘prova’ (intencionalmente irreverente) do Richard O’Donovan e John Kimber (em Non Standard Analysis at Pre-University Level – Naive Magnitude Analysis -”, disponível em http://edu.ge.ch/chavanne-base/cours/cours/odonovanr/Members/odonovanr/documents/publications/odonovankimber.pdf): “Zero is a real number, infinitesimals are ‘new’ numbers, zero is not new, therefore zero is not an infinitesimal!”. O fato é que, para um infinitesimal ‘e’, o número real infinitesimamente próximo a ele é zero, st(e) = 0.
Voltemos agora ao conceito de derivada. Lembrando da definição através de limites, podemos assumir que o limite da razão de infinitesimais é a razão dos infinitesimais acrescida de um infinitesimal ‘e’:

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Em que ‘e’ tende a zero quando Δx tende a zero (http://homepage.cs.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/Lecture1/Lect1.pdf). E pela definição de parte standard citada no início desta seção:

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Logo:

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O símbolo de aproximação neste caso significa que se x ≈ y, então x – y é infinitesimal.

Exemplos

Nesta seção uso um pouco mais da análise não-standard para mostrar como é possível calcular derivadas de funções a partir dela, e como é possível demonstrar que por esta análise não há inconsistência em usar a relação dy/dx = [1/(dx/dy)].

Derivação por duas abordagens:

Vamos calcular a derivada de y(x) = x^2 pelo uso de limites primeiro:

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Agora usando a parte standard:

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A álgebra parece a mesma, mas a origem das ferramentas que levam ao resultado é bem distinta.

Regra da função inversa:

Enunciado: Suponha que ‘f’ e ‘g’ são funções inversas, de modo que as duas equações y = f(x) e x = g(y) levam aos mesmos gráficos. Se as duas derivadas f’(x) e g’(y) existirem e diferem de zero, então:

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Ou seja:

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Prova (simplificada): Assuma que Δx seja um número infinitesimal diferente de zero e que Δy corresponde à mudança em y. Então, pelas regras da parte standard:

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Logo:

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É isso pessoal. Até o próximo post.

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2 Responses to Podemos usar dy/dx como uma fração?

  1. excelente material. muito útil mesmo. Comece a pensar em escrever um livro com estes posts.

    • bloqm says:

      Obrigado, Rodrigo. Fico feliz que tenha sido útil, principalmente porque este post foi particularmente difícil. Não sei se tenho cacife para escrever um livro sobre algo tão imenso, de modo que sinto que tenho muito trabalho neste sentido ainda. Se outras pessoas além de você tirarem proveito do que escrevo aqui, e eu de fato receber este retorno, eu ficaria feliz em escrever um livro, sem abrir mão, no entanto, do conteúdo online. Até lá farei o máximo para tornar a vida dos químicos interessados em matemática mas fácil e acessível, tanto quanto tento tornar a minha.

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