Análise combinatória rudimentar – Parte 3

Nosso último teorema de análise combinatória será o seguinte:

Teorema 4

Prova:

Em cada subpopulação (as vezes chamo de compartimento) as permutas internas não são computadas, deste modo o raciocínio usado para demonstrar o teorema 3 pode ser aproveitado. Considerado (ai1,ai2,…,ain1) um compartimento, temos n x (n-1) x … x (n-n1+1) permutas dos entre estes elementos, mas como desejamos o número de subpopulações (ou combinações), temos que descontar os n1! dividindo n x (n-1) x … x (n-n1+1) por este valor. Tendo o número de subpopulações no primeiro compartimento, fazemos o mesmo com o segundo, porém dos n elementos retiramos n1, então o número de permutas parte de n – n1 até (n-n1-n2+1), o que quer dizer que o número de combinações é n x (n-1) x … x (n-n1-n2+1)/n2! (lembrando que o n2! é para não computar o excedente de permutas de uma mesma subpopulação, assim como no caso de n1!). Ao se fazer o mesmo com todos os compartimentos obtêm-se algo do tipo:

Prova4a

Como temos o número de combinações de cada compartimento, basta considerar que cada uma destas combinações é na verdade um elemento de um conjunto maior. Por exemplo, as n!/(n-n1)! combinações do primeiro compartimento podem ser consideradas como elementos de um conjunto ‘a’. O mesmo pode ser feito repetidamente até o subconjunto ‘x’. Desta forma poderíamos obter o número de arranjos considerando entre os elementos dos conjuntos ‘a’, ‘b’, … e ‘x’ pelo teorema 2. Ou seja, multiplicando o número de elementos de cada grupo:

multi1

Sabendo que (n – n1 – … – nk) = (n-n)! = 0! = 1 e fazendo-se os cancelamentos apropriados temos que:

multi2

Ex.: No post da primeira dedução da equação de Boltzmann que apresentei no blog eu uso esta equação (as k subpopulações são compartimentos ou níveis eletrônicos), e ela estará novamente em outros lugares. Note-se que para k = 2, a equação do teorema 4 se converte na equação do teorema 3, já que a primeira é um caso mais geral. Para os corajosos que chegaram até aqui, mostro um diagrama das implicações dos quatro teoremas deduzidos nesta série de posts:

Diagramação

Esse deu trabalho. Vejo vocês na próxima, e espero que alguém além de mim tire proveito desta pequena revisão.

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