Linearizações

Olá pessoal. Este pequeno post é dedicado a um detalhe que acho importante, e certamente o é dependendo da área da química vocês desenvolvem. Os dados que vou apresentar e muito da discussão são baseados no livro do Bates e Watts, “Nonlinear Regression Analysis and Its Applications”, um livro de estatística excelente, mas recheado de exemplos de aplicações em química.
Bem, a mensagem geral do post é: cuidado com linearizações. Digamos que se queira ajustar um modelo não-linear nos dados experimentais que se obtêm. Alguns modelos não-lineares podem ser manipulados de modo a permitir a extração dos parâmetros do modelo pela equação de uma reta (chamados de modelos transformavelmente lineares). Vantagens? Bem, no meu parco conhecimento poderia dizer que os parâmetros num modelo linear são ajustados de maneira exata pelo método dos mínimos quadrados, enquanto que para ajustar modelos não-lineares emprega-se algoritmos iterativos como o Levenberg-Marquardt (usado no software Origin®), exigindo um certo savoir-faire com relação aos valores iniciais e na escolha do algoritmo, entre outros critérios. Porém nem sempre a linearização é bem empregada, e o exemplo que o Bates usa é o da equação de Michaelis-Menten, popular em cinética enzimática, linearizada da seguinte maneira:

Modelo

Ou seja, se ao invés de fazermos um gráfico da variável dependente em função da independente, fizermos um dos inversos de ambas, um em função do outro, temos um modelo linear. Pode parecer óbvio, escrito desta maneira, que esta mudança no modo como os dados são dispostos implica uma alteração na sua distribuição. De fato, variações no denominador são mais delicadas que no numerador. Vamos para um exemplo concreto dos efeitos dessa mudança. Sejam os dados abaixo:

Tabela

Grafico 1

Aplicando a nossa linearização, e dispondo o gráfico do inverso da variável dependente em função do inverso da independente, temos:

Linearização

Observem que aparentemente as replicatas para um mesmo nível (mesmo valor de 1/x) se distanciam para maiores valores de 1/x. Este comportamento compromete o uso do método dos mínimos quadrados, pois os dados devem ser homocedásticos. Isso quer dizer que a variância deve ser mais ou menos a mesma para diferentes níveis. Nossos dados acima são, portanto, heterocedásticos, o que, nas palavras do meu professor de quimiometria, significa que apresentam “variância variável”. O ajuste acima pode parecer bom, mas quando os coeficientes linear e angular são usados para calcular os parâmetros do modelo não-linear de antes, os valores previstos pelo modelo (comparado aos dados experimentais) não são os melhores do mundo:

Gráfico 2

Os pontos em vermelho são os previstos pela linearização. Alguns poderiam dizer que o modelo é satisfatório, pois os pontos vermelhos estão próximos dos quadrados pretos. Mas obviamente que para altos valores de x, os valores previstos são inferiores aos experimentais. O problema não é nem que a diferença entre os dados previstos e reais seja grande, mas sim que seja sistemática. Há uma tendência clara de que para altos valores de x, os valores previstos são inferiores ao esperado, e isso é indício de que tem coisa errada no modelo ou, neste caso, que sua obtenção foi muito baseada em boa fé na linearização. Portanto duas importantes constatações podem ser feitas:
1) Façam replicatas sempre que possível: sem elas não poderíamos verificar a heterocedasticidade dos dados, e a análise da coerência estatística do modelo após seu ajuste fica mais difícil (embora esta parte eu não tenha mostrado).
2) Cuidado com modelos lineares oriundos de modelos transformavelmente lineares: as premissas para o ajuste por mínimos quadrados continuam a valer, e suas influências na qualidade da estimativa dos parâmetros no modelo não-linear podem ser consideráveis.

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One Response to Linearizações

  1. Sometimes the very best solutions are the most simple.

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