Modus operandi da Química Matemática

Olá novamente pessoal. Este post tem algo de especial, porque pretendo apresentar um exemplo em microescala do que se espera ser o desenvolvimento de algo relacionado à Química Matemática, ao menos segundo o que tenho lido. Esta disciplina propõe é o desenvolvimento de novas vertentes na própria Matemática em decorrência de problemas originalmente químicos. Meu exemplo simples é baseado num problema que tive uma vez, e só consegui resolver alguns anos depois. Em titulações, por exemplo ácido-base, o ponto de equivalência pode ser encontrado, entre outros métodos, pela observação da condutividade (ou parâmetro correlato) da solução cuja concentração de ácido (ou base) deseja-se determinar em função do volume de alguma substância adicionada, neste caso uma base (ou um ácido). Este gráfico por vezes adquire um formato semelhante ao de duas retas com diferentes coeficientes angulares que se cruzam num determinado ponto. Alguns destes gráficos obtidos em experimentos reais são apresentados abaixo, em que as abscissas (eixo x) referem-se ao volume de NaOH adicionado numa solução alguns ácidos (cada figura é referente à um ácido diferente) e as ordenadas (eixo y) à um parâmetro relacionado à condutividade da solução do ácido.

F1

F2

F3

Uma das maneiras de se obter o ponto no qual o coeficiente angular do aparente segmento de reta muda é visualmente, o que em alguns casos é fácil. Em outros, quando a variação do coeficiente angular é pequena e a separação entre os pontos é grande, a comparação visual é um pouco mais difícil, então constroem-se modelos lineares independentes para os pontos antes e depois do cruzamento das retas. Com as duas equações é possível encontrar o ponto de cruzamento dos modelos, ou verificar visualmente este local. Bom, eu sempre me perguntei se não há uma maneira de um modelo linear “enxergar” o outro, ou seja, que uma função única agregue os dois modelos num só, de modo que o ajuste seja feito com todos os pontos. Neste caso algum algoritmo iterativo para minimizar o erro do modelo ajustado com relação aos dados experimentais, como o Levenberg-Marquardt, poderia ser empregado, e parâmetros estatísticos da qualidade do ajuste poderiam ser computados. Mas primeiro é preciso encontrar a função.
Um belo dia notei a possibilidade de usar a função modular para criar uma função que cresça (ou decresça) linearmente a partir da (ou até a) origem do plano cartesiano, de modo que para x ≤ 0 (ou x ≥ 0) a função é constante e igual a zero. Explicando parece difícil, mas observem as duas funções abaixo, y’(x) e y’’(x), que se adéquam a descrição acima:

y'(x) = (x − |x|)/2

y’(-2) = -2
y’(-1) = -1
y’(0) = 0
y’(1) = 0
y’(2) = 0

y’’ = (x + |x|)/2

y’’(-2) = 0
y’’(-1) = 0
y’’(0) = 0
y’’(1) = 1
y’’(2) = 2

Observem que uma terceira função y(x) = y’(x) + y’’(x) possui uma das propriedades que nos interessam, a saber, duas retas na mesma função, neste caso com o mesmo coeficiente angular. Mas o ponto chave aqui é que y(x ≤ 0) = y’(x) + 0, e de maneira análoga y(x ≥ 0) = 0 + y’’(x), com y’(x) e y’’(x) “dominando” em diferentes regiões do plano cartesiano. A função y(x) gerada a partir da soma destas duas pode ser modificada de modo que as funções que a compõem tenham o coeficiente angular que desejamos, ou seja, podemos compô-la de maneira que:

y = (a’y’+b’)+(a’’y’’+b’’)
y(x ≤ 0) = a’y’+(b’+b’’) = a’y’+ b
y(x ≥ 0) = a’’y’’+(b’+b’’) = a’’y’’ + b

Ou seja, duas retas com coeficientes lineares a’ e a’’ se encontram no ponto (0, b). Como o deslocamento do ponto de encontro entre as retas no eixo y provem do termo b, precisamos implementar um deslocamento em x para que o ponto de encontro possa ser em qualquer ponto (c,b). Isso pode ser feito substituindo x por (x + c), sendo c uma constante. Com isso temos finalmente uma função do tipo:

y = a’y’+a’’y’’+ b = a’{[(x+c)-|x+c|]}+ a’’{[(x+c)+|x+c|]} + b

Digamos que esta classe de função nunca foi criada ou usada dessa forma (o que acho pouco provável). Neste caso a batizo de função bimodular contínua, ou função cotovelo. A autoria não é bem a questão aqui, mas observe que um suposto desenvolvimento matemático (muito trivial nesse caso) foi motivado pela necessidade de resolver um problema químico. É claro que neste problema abandonei meu lado físico-químico, e atuei só como um cientista que quer ajustar uma função nos seus dados ignorando a origem deles, o que de fato não aprovo, embora funcione muito bem às vezes (como na fórmula de Rydberg para o espectro do hidrogênio). Mas o objetivo era ilustrar de maneira simples como a Química Matemática parece funcionar, embora de uma maneira muito mais complexa, expandindo realmente os horizontes da matemática para os propósitos dos químicos. E não posso esquecer, obviamente, dos ajustes da função cotovelo nos dados experimentais, que vocês podem ver abaixo:

M2 - Cópia

M2

M3

Obs.: Se alguém for usar a função da mesma maneira que eu, recomendo uma boa escolha de valores iniciais para o ajuste não-linear do modelo nos dados que se tem em mãos.

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